✏️PERMUTATIONS
[tex]\red{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••}[/tex]
[tex]\underline{\mathbb{PROBLEM:}}[/tex]
- How many distingguishable permutations can be arranged in the word KAPAKIPAKINABANG?
[tex]\red{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••}[/tex]
[tex]\underline{\mathbb{ANSWER:}}[/tex]
[tex]\qquad\Large\rm» \:\: \green{3\text,632\text,428\text,800\:ways}[/tex]
[tex]\red{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••}[/tex]
[tex]\underline{\mathbb{SOLUTION:}}[/tex]
- This 16-letter words can be arranged in 16! ways and remove the other repeating arrangements such that:
- [tex] \rm A = 5! \: ways [/tex]
- [tex] \rm K = 3! \: ways [/tex]
- [tex] \rm P = 2! \: ways [/tex]
- [tex] \rm I = 2! \: ways [/tex]
- [tex] \rm N = 2! \: ways [/tex]
[tex]\begin{aligned} & \bold{\color{lightblue}Formula:} \\ & \boxed{\: \rm P = \frac{n!}{n_1! \ n_2! \ ... n_k!} \:}\end{aligned} [/tex]
- [tex] \small\begin{aligned} \rm P = \frac{16!}{5! \ 3! \ 2! \ 2! \ 2!} \end{aligned} [/tex]
- [tex] \small\begin{aligned} \rm P = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot \cancel{5!}}{ \cancel{5!} \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} \end{aligned} [/tex]
- [tex] \small\begin{aligned} \rm P = \frac{16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot \cancel{12}^{ \ 6 } \cdot 11 \cdot \cancel{10}^{ \ 5 } \cdot \cancel{ \: 9 \: }^{ \ 3 } \cdot \cancel{ \: 8 \: }^{ \ 4 } \cdot 7 \cdot \cancel{ \: 6 \: }^{ \ 3 } }{ \cancel{ \: 3 \: } \cdot \cancel{ \: 2 \: } \cdot \cancel{ \: 2 \: } \cdot \cancel{ \: 2 \: } \cdot \cancel{ \: 2 \: }} \end{aligned} [/tex]
- [tex] \small\rm P = 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot6 \cdot 11 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 3[/tex]
- [tex]P = 3\text,632\text,428\text,800[/tex]
[tex]\therefore[/tex] There are 3,632,428,800 ways to arrange the letters of the word KAPAKIPAKINABANG.
[tex]\red{••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••}[/tex]
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